這個有趣的(小)問題是在 MathOverflow 上看到的。
假設我們有一個有限集合為某個群 (如自然數) 的子集, 滿足底下條件:
任何中的元素都可以寫成另外兩個中元素的和;也就是說令,則。
試證明:中存在一個非空子集使得中所有元素相加為零。
我們稱這樣的子集為零和子集 (zero-sum subset)。
零和字集在加性組合學 (additive combinatorics) 中是個被廣泛研究的主題;例如在一個群當中,若任意給定個元素形成的集合其中都有零和子集,滿足這樣條件最小的,我們稱作 restricted Davenport number。在 Szemeredi 的 “On a conjecture of Erdos and Heilbronn” 中,他證明了
,
其中為的大小。
但是由所謂 sum-full (也就是) 這樣的條件而保證零和子集的存在性,在文獻中卻是沒有看過… 似乎是個很有趣的問題!目前為止只能想到一些標準化為圖論問題的方法,反證了幾個過於樂觀的猜想,卻沒有進一步的結果… 也許需要一些其他的工具來證明。有沒有什麼想法呢?